Talstelsels

Rekenen met talstelsels

• Hoe werkt rekenen eigenlijk?

• We bekijken twee bewerkingen: optellen en vermenigvuldigen

Tientallig rekenen

• We gebruiken opzoektabellen om de berekeningen voor 1 cijfer te kunnen doen, en algoritmes voor langere getallen

Optellen

• Welk algoritme gebruiken we voor optellen?

\[\begin{split} \begin{array}{r} 1\phantom{0}\\ 529\\ +\;\phantom{0}742\\ \hline 1271 \end{array} \end{split}\]

Vermenigvuldigen

• Welk algoritme gebruiken we voor vermenigvuldigen?

\[\begin{split} \begin{array}{r} 529\\ \times\;\phantom{000}42\\ \hline 1058\\ +\;2116\phantom{0}\\ \hline 22218 \end{array} \end{split}\]

Tweetallig rekenen

+	0	1
0
1

×	0	1
0
1

• Dezelfde aanpak, allen zijn de tabellen wat kleiner! 🥳

• Welke getallen komen in de tabel te staan?

Tweetallig rekenen

+	0	1
0	0	1
1	1	10

×	0	1
0	0	0
1	0	1

• Die 10 is binair, lees dus 2 decimaal!

Quiz

Tel de binaire getallen 101101 en 1110 op zonder ze om te rekenen naar decimaal

\[\begin{split} \begin{array}{r} 11\phantom{000}\\ 101101\\ +\;\phantom{00}1110\\ \hline 111011 \end{array} \end{split}\]

Quiz

Vermenigvuldig de binaire getalen 101101 en 1110 zonder ze om te rekenen naar decimaal

\[\begin{split} \begin{array}{r} 101101\\ \times\;\phantom{000000}1110\\ \hline 0\\ 101101\phantom{0}\\ 101101\phantom{00}\\ +\;\phantom{0}101101\phantom{000}\\ \hline 1001110110 \end{array} \end{split}\]

Verder dan binair!

Grondtal	Stelsel	42!	Cijfers
2	Binair	101010	0, 1
3	Ternair	1120	0, 1, 2
10	Decimaal	42	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Waarom 1120?

\[ 1120_3 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot 1 = 42 \]

Quiz

Welke van deze getallen is niet 42?

• 222

• 60

• 54

• 46

• 39

Quiz

\[\begin{split} \begin{aligned} 222_4 &= 2 \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 1 &= 42 \\ 60_7 &= 6 \cdot 42 + 0 \cdot 1 &= 42 \\ 46_9 &= 4 \cdot 9 + 6 \cdot 1 &= 42 \\ 39_{11} &= 3 \cdot 11 + 9 \cdot 1 &= 42 \\ \end{aligned} \end{split}\]

• 54 is geen 42 😞

42 and beyond!

Grondtal	Stelsel	42!	Cijfers
2	Binair	101010	0, 1
3	Ternair	1120	0, 1, 2
4	Quaternair	222	0, 1, 2, 3
5	Quinair	132	0, 1, 2, 3, 4
6	Senair	110	0, 1, 2, 3, 4, 5
7	Septenair	60	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
8	Octaal	52	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
9	Novenair	46	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
10	Decimaal	42	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
11	Undecimaal	39	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A
12	Duodecimaal	36	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
16	Hexadecimaal	2A	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

52 65 64 20 42 75 6C 6C 20 67 69
76 65 73 20 79 6F 75 20 77 69 69
69 6E 67 73 2E

• Hexadecimale getallen

• Representeren tekens uit de ASCII-set

Red Bull gives you wiiings.

• De Dozenal Society promoot een 12-tallig (duodecimaal) stelsel.

• Waar komt het 12-tallig stelsel nog meer voor?

Denk bijvoorbeeld aan het aantal uren in een dag, of de eenheden in het Engelse stelsel (12 inch in een foot).

• Babylonische kleitabletten (cuneiform) met een 60-tallig (sexagesimaal) stelsel.

• Waar zie je tegenwoordig nog een 60-tallig stelsel?

Denk bijvoorbeeld aan het aantal minuten in een uur.

• De Maya’s gebruikten een 20-tallig (vigesimaal) stelsel.

• De Telefol uit Papua Nieuw Guinea gebruiken een 27-tallig (heptavigesimaal) stelsel (!)